SEÇÃO ÁUREA E SÉRIE FIBONACCI

Ao continuar com as observações da natureza, os Pitagóricos acabaram por descobrir os números irracionais e delimitaram os princípios das razões da seção áurea, que seriam razões harmônicas entre dois seguimentos. Essa proporção foi adotada desde a Antiguidade Clássica e continua sendo usada até os dias de hoje. (RASMUSSEN, 2002).

“(…) Diz-se que um seguimento de linha está dividido de acordo com a seção áurea quando é composto de duas partes desiguais, das quais a primeira está para a segunda como a segunda está para o todo. Se chamarmos às duas partes a e b, respectivamente, então a razão de a para b é igual à razão de a para a+b” (RASMUSSEN, 2002, p. 110).

O arquiteto húngaro G. Doczi descreve em seu livro “O poder dos limites”, que a fórmula da seção áurea pode ser então expressa pela equação a: b = b (a + b) e os valores arredondados em três casas decimais para a razão entre as maiores e menores partes da seção são os números 0, 618 e 1, 618. O retângulo de proporção 5:8 é o mais utilizado, pois esta razão é a que mais se aproxima desses valores, onde podemos observar a equivalência:
A:B=B:(A+B)=0,618…. ou B:A=(A+B):B=1,618…
5:8=8:(5+8)=0,615… ou 8:5=(5+8):8=1,62…
Obtemos razões próximas a seção áurea através das proporções das harmonias musicais.

Na arquitetura clássica, principalmente em relação aos seus templos, observamos facilmente proporções e equilíbrio. A arquitetura deveria mostrar aqueles ideais de maneira que as medidas dos edifícios gregos eram múltiplos ou submúltiplos do diâmetro médio das colunas – um módulo – o que faz com que a relação entre a parte menor e a parte maior seja a mesma entre a parte maior e o todo.
Observamos essas relações tanto na planta, quanto nas fachadas de vários edifícios clássicos, principalmente em templos como o Parthenon de Atenas (século V a.C.), que pode ser considerado um bom exemplo para a harmonia aplicada a um edifício da Antiguidade devido à precisão de suas medidas e das razões nele encontradas.
Neste caso, constatamos que as medidas presentes no templo referem-se tanto a harmonia pitagórica quanto ao retângulo áureo.
Em sua fachada, cabe um retângulo áureo deitado e suas colunas possuem altura igual a cinco vezes e meia a largura da base. O topo dos capitéis aproxima-se do ponto de ouro da altura total. Os eixos das duas colunas dos cantos mais a linha do chão e topo do entablamento formam dois retângulos áureos de √5.
As colunas possuem ritmos proporcionais que representam uma alternância de elementos fortes e fracos. As colunas frontais estão na razão de 3:4, correspondendo a um diatessaron ou intervalo de quarta musical. A planta baixa corresponde a dois retângulos áureos revelando um diapente, razão 2:3. (DOCZY, 1990).

Mais adiante, Leonardo Pisano Fibonacci formula a partir dos princípios da seção áurea, a Série Fibonacci. Através dela é possível obter uma série somatória de números inteiros, cada nova unidade formada pela soma das duas anteriores: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 etc., na qual quanto mais a série cresce, mais ela se aproxima da razão da seção áurea, já que qualquer número dividido pelo seguinte dá aproximadamente 0,618 e qualquer número dividido pelo seu antecedente dá aproximadamente 1,618.
Curiosamente essa razão pode ser observada também em quase todas as folhas e pétalas de flores e em várias outras formas orgânicas da natureza, assim como no próprio corpo humano.

A seção áurea nos sons harmônicos.  (Fonte: a partir de Doczy, 1990)
A seção áurea nos sons harmônicos. (Fonte: a partir de Doczy, 1990)
Parthenon de Atenas. (Fonte: www.pathwaysofhistory.com)
Parthenon de Atenas. (Fonte: http://www.pathwaysofhistory.com)
A proporção áurea na fachada frontal  e planta do Parthenon. (Fonte: a partir de Doczy, 1990)
A proporção áurea na fachada frontal e planta do Parthenon. (Fonte: a partir de Doczy, 1990)

PITÁGORAS E A HARMONIA

Através de observações da natureza, o matemático grego Pitágoras (530 a.C.) passou a considerar os números naturais contáveis como sendo o princípio de todas as coisas, e a música como parte da existência de uma harmonia universal, criando um raciocínio matemático que serviria para ajudar a compreender os mistérios da humanidade, nos mais diversos campos do conhecimento. Ele e seus discípulos estudaram as relações matemáticas que existem nos sons, relações que são conhecidas hoje como a ciência dos intervalos musicais ou canônica, e formularam uma escala que acabaria se tornando a base da música ocidental durante muitos séculos, conforme explicação do arquiteto, professor e escritor dinamarquês Steen E. Rasmussen (1898 – 1990).

Segundo uma lenda, Pitágoras ouviu um ferreiro martelar uma bigorna com três diferentes martelos, o que produziu sons que também eram diferentes e que ele considerou bastante agradáveis.

“Continuou a investigar o fenômeno e descobriu que os comprimentos das três cabeças de martelo estavam mutuamente relacionados na razão de 6:4:3. A maior delas produzia a nota tônica; o tom da intermediária era uma quinta acima e a menor das três cabeças, uma oitava acima” (RASMUSSEN, 2002, p. 107).

O matemático observou então que o som estava relacionado com as medidas e que os sons harmônicos surgem a partir das razões entre o tamanho dos objetos que os produzem. Assim, ele passou a estudar sons que, embora distintos, pudessem ser combinados entre si para produzir proporções agradáveis aos ouvidos.
Utilizando um monocórdio, um instrumento de uma única corda esticada entre dois cavaletes fixos em uma mesa ou caixa de madeira, Pitágoras fez diversas observações ao tencionar e tocar a corda, dividindo-a em seções.

“A princípio, seus experimentos evidenciavam relações entre comprimento de uma corda estendida e a altura musical do som emitido quando tocada.” (ABDOUNUR, 2006, p. 4).

A constatação de que as relações de comprimentos de corda formados por razões de números inteiros produziam determinados intervalos sonoros foi um grande marco para a escola pitagórica e outros instrumentos começaram a ser desenvolvidos, como por exemplo, o tetracórdio, instrumento constituído por quatro cordas.

Segundo o matemático brasileiro O. J. Abdounur, o experimento no monocórdio ocorreu da seguinte maneira: A corda esticada equivalia ao som ‘uníssono’ – proporção 1:1. Ao pressionar a corda na metade – proporção 1:2 – tem-se o ‘diapason’ ou intervalo de uma oitava, sendo seu som igual ao anterior, só que mais agudo.
Pressionar a corda a proporção de 2:3 de sua extensão revelou um novo som equivalente a um intervalo de quinta ou ‘diapente’ (penta, cinco), e pressioná-la a proporção de 3:4 equivale ao chamado ‘diatessaron’ (tessares, quatro), ou intervalo de quarta, já que se ouve um tom referente a uma quarta cima do tom emitido pela corda inteira. Dividir a corda sucessivamente fez com que Pitágoras encontrasse relações matemáticas entre cada som através das frações (BOYD-BRENT, 2002).
Este princípio é o mesmo que ocorre em qualquer instrumento de corda, porém não pensamos sobre isso ao ouvir uma peça no violão. As variações de freqüência sonora a partir das proporções das cordas possibilitaram o surgimento de uma escala diatônica pitagórica de sete sons harmônicos, utilizando a chamada consonância pitagórica . Essa escala se baseia na sucessão de quintas, ou seja, é formada sempre multiplicando o som anterior pela razão 3:2 e permaneceu utilizada como base para a música medieval, até o fim da era renascentista, por volta de 1600, não sofrendo alterações muito significativas até o início do século XX. Experiências desse tipo também estavam sendo realizadas na China praticamente na mesma época.

Ficou claro para os pitagóricos que as proporções aritméticas entre os números inteiros são capazes de produzir sons musicais, mas convém observar que naquela época ainda não se falava em ondulações e frequências sonoras ou fenômenos ondulatórios, embora fosse conhecido que o som deveria ser uma massa que se propagava pelo ar.
Para os discípulos de Pitágoras também era natural estabelecer relações da música com a astronomia e a matemática, já que ambas faziam parte das áreas do conhecimento humano usadas para explicar o universo.
Diziam eles que existiam três tipos de música: a música instrumentalis, a música humana e a música mundana. A primeira era produzida pelos instrumentos musicais, incluindo as cordas vocais; a segunda era a produzida pelo corpo e a alma, sendo portando inaudível; e a terceira, era a música das esferas produzida pelo cosmos, já que os movimentos dos corpos celestes deveriam propagar algum som, mesmo que este fosse inaudível.

O termo harmonia surge então como um parâmetro ordenador, significando não somente aquilo que agrada aos nossos ouvidos, mas também aquilo que está em perfeita consonância com o cosmos.
Os gregos da antiguidade clássica chamavam de Quadrivium os quatro ramos do conhecimento: a astronomia (grandeza em movimento), a geometria (grandeza em descanso), a aritmética (números absolutos) e a música (números aplicados). Esses ramos faziam parte da matemática e, juntamente com o Triviun, composto pela gramática, dialética e retórica, eram considerados essenciais ao conhecimento humano.
Passa-se a haver uma classificação de mundo como este sendo regido pela harmonia, e a música é considerada sua maior expressão. Harmoniai revela tudo aquilo que está em perfeita sintonia com o cosmos, seja em música, seja em escultura, seja em arquitetura, já que todas partem de um único princípio: o número. As Leis das proporções harmônicas eram aceitas para todas as artes. (RABELO, 2007).
Essa teoria sobreviveu até meados do século XVII por meio de astrônomos e filósofos, como o inglês Robert Fludd (1574 – 1637). Ele considerou o universo como um grande monocórdio e os astros (planetas, sol e lua) deveriam estar posicionados de acordo com as regras da harmonia musical de Pitágoras, com as distâncias respeitando as proporções dos intervalos. O som associado a cada planeta é tanto mais agudo quanto maior for a distância do planeta em relação à Terra.

Monocórdio medieval exposto no Museu nacional Germânico de Nuremberg. (Fonte: www.acanto.com.br)
Monocórdio medieval exposto no Museu nacional Germânico de Nuremberg. (Fonte: http://www.acanto.com.br)
Experimento de Pitágoras mostra as relações entre o tencionamento de uma corda e os intervalos harmônicos. (Fonte: Boyd-Brent, 2002).
Experimento de Pitágoras mostra as relações entre o tencionamento de uma corda e os intervalos harmônicos. (Fonte: Boyd-Brent, 2002).
O Divino Monocórdio, de Robert        Fludd. (Fonte: www.portaldoastronomo.org)
O Divino Monocórdio, de Robert Fludd. (Fonte: http://www.portaldoastronomo.org)